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大家好，我是专注于高中数学教学的老吕。从今天开始就开始学习新的一章，叫做一元函数的导数及其应用。有过高中教学经验的老师们都知道导数一般会出现在高考的压轴题的当中，而且也是学习大学数学的基础性的东西。
先看对于书当中的要求，书中的前沿部分已经明确了导数通过函数的概念是刻画静态、数额与刻画动态现象的函数的重要概念。在函数深入研究当中创建了微积分，说明微积分的作用会分两次去解决这个问题。
·第一个就是先讲倒数，倒数的概念需要知道什么？
·第二个就要讲一下微积分和倒数之间的关系。微积分的创立主要于四类科学问题有关：一是路程与时间函数，二是曲线的切线，三是函数最大至最小值，还有四个球长度、面积、中心等这样的问题。
然后倒数是微分当中的核心，为积分当中一个合集体现了现在函数基本概念。在这里边一定要注意这句话，倒数是定量刻画函数局部，局部的变化一定要搞清楚研究函数的增减、变化的快慢、最大最小值等的基本方法，因而在解决诸多增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具。
所以在本章就要学习导出的概念，导出的基本运算体会导出的内涵和思想感悟极限的思想。
接下来来看一下导数的概念。在导数的概念的过程当中首先要知道导数其实在这里边是通过两种具体的物理当中的平均变化率到顺势变化率的逼近和另一类几何当中的割线斜率到切线斜率这样的具体的实例来抽象出一般的形式。
所以下边的定义的内容就是把具体问题一般化的体现。所以对于函数y等于fx设自变量x到x0变化写成x0加上detax，函数值的变化是fx零加detax，从x、fx零变化到这，x的变化derxy的变化量就可以表示上dery，dery比derx就是可以写成这种形式。
上边这些部分都没有什么，主要是对下边这部分的理解。如果当d、n、x趋近于零时平均变化率无限的接近确定的值，这里边要注意确定的值是同一个确定的值，这里边要搞清楚，即使是有，y等于fx，在x等于零处是可导的。把确定的值叫做fx在x等于x零时的倒数，记住f撇x0或者是y撇x等于x0。
根据抽象出来的一般形式，我是对平均的变化取极限得到瞬时的变化，对这个形式要理解好。在这里边在讲概念的时候就要注意，在有极限的前提必须无限的去趋近于这个数平均变化率。所以在这里边要保证的，如果这个函数在某一点处，这是某一点处的倒数，在这一点处一定要注意几个问题。
·第一个必须是要连续的，必须是要连续的连续才能得到dot y和dot x趋近的情况。如果不连续，那这个趋近性不可能无限趋近于零。所以这是第一个。
·当然对于连续的性的证明，可导函数的连续性证明这是大学要求的内容，在这里不做要求就知道当它无限的x无限曲径小的时候y也取决于无限小的时候，在这里边就说明它们一定是连着的。
·但是连续还要注意第二个问题，一定得是平滑的。为什么说是平滑的？如果不平滑举一个例子，比如对于这个函数，这个函数图像是连续的，在这一点是一个x0，它是一个x0，对于x0就是一个有尖的。
如果这是一个直线会发现这边的倒数，倒数知道它是切线的斜率，所以左侧的斜率k1和右侧的斜率k2，这个k1明显是不等于k2的，就不可能说是无限趋近于一个确定的数，这不是一个确定的数。
所以必须满足在这个位置导出研究局部性质，这个局部一定是需要是平滑的，不可能出现这种带尖的，也就说没有尖，不能有尖，有尖这个函数在这个尖处就是没有倒数的。
所以从概念的理解上，在理解倒数的概念的时候要抓住两点，连续平滑曲线才具有在某一点处的倒数，连续平滑曲线上才能取到x0，x0能够进行刻到。在高中研究的范围内，所有研究的函数一般在出题的情况下给出来的都是导都是刻刀的，所以没有过分的去强调概念里边这个问题。
但是对于概念的理解要逐个逐句的去分析它的形式、表示等等这些问题。
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